Gleichungssystem lösen
Gib hier die zu lösenden Gleichungen ein. Format: "2*x + 3*y = 7" oder "2x + 3y = 7"
Beispiele:
Standard Format:
2*x + 3*y = 7
4*x - y = 3
Ohne * Zeichen:
2x + 3y = 7
4x - y = 3
Mit Dezimalzahlen:
0.5*x + 1.5*y = 4
2*x - 0.5*y = 1
Lineare Gleichungssysteme: Alles einfach erklärt wie für einen Erstklässler
Was ist ein lineares Gleichungssystem?
Stell dir vor, du hast mehrere Rätsel mit versteckten Zahlen (wie x und y). Jedes Rätsel gibt dir einen Hinweis. Ein lineares Gleichungssystem ist wie ein Detektivspiel - du musst aus mehreren Hinweisen die versteckten Zahlen herausfinden!
Zum Beispiel: "Wenn ich 2 Äpfel und 3 Birnen kaufe, kostet es 7 Euro. Wenn ich 4 Äpfel und 1 Birne weniger kaufe, kostet es 3 Euro. Wie viel kostet ein Apfel und wie viel eine Birne?"
Die verschiedenen Lösungsverfahren - wie Zaubertricks!
1. Einsetzungsverfahren
Das ist wie "Geheimnisse tauschen"!
- • Du löst ein Rätsel nach einem Geheimnis auf (z.B. "y = ...")
- • Dann setzt du dieses Geheimnis in das andere Rätsel ein
- • Jetzt hast du nur noch ein Geheimnis zu lösen!
- • Am Ende setzt du zurück und findest das zweite Geheimnis
Beispiel: y = 7 - 2x → einsetzen → 4x - (7 - 2x) = 3
2. Additionsverfahren (Eliminationsverfahren)
Das ist wie "Zauberhafte Auslöschung"!
- • Du veränderst die Rätsel so, dass ein Geheimnis "verschwindet"
- • Das machst du, indem du gegenteilige Zahlen erzeugst (+3y und -3y)
- • Wenn du die Rätsel zusammenzählst, fällt ein Geheimnis weg
- • Übrig bleibt ein einfaches Rätsel mit nur einem Geheimnis!
Beispiel: 2x + 3y = 7 und 4x - y = 3 → ×3 → 4x - 3y = 9 → addieren
3. Gleichsetzungsverfahren
Das ist wie "Gleiche Geheimnisse finden"!
- • Du löst beide Rätsel nach dem gleichen Geheimnis auf (z.B. beide nach y)
- • Da y in beiden Fällen dasselbe ist, setzt du die Ausdrücke gleich
- • Jetzt hast du ein neues Rätsel mit nur einem Geheimnis!
- • Das löst du und setzt dann zurück
Beispiel: y = 7 - 2x und y = 4x - 3 → 7 - 2x = 4x - 3
4. Matrixverfahren (Gauß-Verfahren)
Das ist wie "Ordentliche Tabellen machen"!
- • Du schreibst alle Zahlen in eine ordentliche Tabelle
- • Dann machst du systematische Änderungen, um Dreiecke zu erzeugen
- • Am Ende kannst du von unten nach oben alle Geheimnisse ablesen
- • Das funktioniert auch für viele Geheimnisse gleichzeitig!
Schritt-für-Schritt: So wirst du zum Gleichungssystem-Detektiv
Schritt 1: Verstehe das Problem
Lies die Gleichungen und identifiziere, welche Geheimnisse (Variablen) du finden musst. Meist sind das x und y.
Schritt 2: Wähle die beste Methode
• Einfache Zahlen? → Einsetzungsverfahren
• Gleiche Koeffizienten? → Additionsverfahren
• Kompliziert? → Matrixverfahren
• Unsicher? → Gleichsetzungsverfahren (funktioniert fast immer!)
Schritt 3: Führe die Methode aus
Arbeite systematisch und ordentlich. Schreibe jeden Zwischenschritt auf - das hilft beim Finden von Fehlern!
Schritt 4: Überprüfe dein Ergebnis
Setze deine gefundenen Werte in BEIDE ursprünglichen Gleichungen ein. Wenn beide stimmen, hast du gewonnen!
Häufige Fragen neugieriger Schüler
Wie beim Kochen gibt es verschiedene Wege zum gleichen Ziel! Manche Methoden sind bei bestimmten Gleichungen einfacher. Es ist wie verschiedene Werkzeuge - manchmal brauchst du einen Hammer, manchmal einen Schraubenzieher.
Manchmal widersprechen sich die Hinweise! Das ist wie wenn jemand sagt "Alle Äpfel kosten 2 Euro" und jemand anderes sagt "Alle Äpfel kosten 3 Euro". Das kann nicht beide stimmen - dann gibt es keine Lösung.
Manchmal sagen beide Hinweise eigentlich dasselbe, nur anders ausgedrückt. Dann gibt es unendlich viele richtige Antworten - wie eine ganze Linie von Punkten, die alle stimmen!
Das kommt darauf an! Bei einfachen Zahlen ist das Einsetzungsverfahren oft am schnellsten. Bei komplizierten Systemen ist das Matrixverfahren am systematischsten. Probiere verschiedene aus und finde deinen Favoriten!
Gleichungssysteme in der echten Welt
Gleichungssysteme sind überall! Wirtschaftsanalysten verwenden sie für Marktanalysen, Ingenieure für Konstruktionsberechnungen, Programmierer für Computergrafik, und sogar beim Kochen (wenn du mehrere Rezepte kombinierst) nutzt du unbewusst Gleichungssysteme!
Praktisches Beispiel: Schulkantine
Die Schulkantine verkauft Sandwiches und Getränke. Am Montag wurden 50 Sandwiches und 30 Getränke für 280€ verkauft. Am Dienstag waren es 40 Sandwiches und 50 Getränke für 290€. Wie viel kostet ein Sandwich und wie viel ein Getränk?
Gleichungen:
50*x + 30*y = 280 (Montag)
40*x + 50*y = 290 (Dienstag)
Lösung: x = 4€ (Sandwich), y = 3€ (Getränk)