Quadratische Gleichungen online lösen

Kostenloser Rechner mit Schritt-für-Schritt Lösungsweg für PQ-Formel und Mitternachtsformel

✨ Was kann dieser Rechner?

• Löst quadratische Gleichungen der Form x² + px + q = 0 (PQ-Formel)
• Löst quadratische Gleichungen der Form ax² + bx + c = 0 (Mitternachtsformel)
• Zeigt jeden Rechenschritt ausführlich an
• Erkennt automatisch, ob Lösungen existieren
• Wandelt Gleichungen automatisch in die richtige Form um

🔧 Rechner: Gib hier deine Gleichung ein

💡 Tipp: Statt x² kannst du auch x^2 schreiben. Der Rechner versteht beide Schreibweisen!

📐 PQ-Formel (Normalform)

Für Gleichungen der Form: x² + px + q = 0

x² + x + = 0

🌙 Mitternachtsformel (ABC-Formel)

Für alle quadratischen Gleichungen: ax² + bx + c = 0

x² + x + = 0

📚 Vollständige Anleitung: Quadratische Gleichungen lösen

🚀 Schnellstart: So benutzt du den Rechner

1️⃣

Gleichung eingeben

Tippe deine Gleichung in das große Feld oder gib die Werte für p,q bzw. a,b,c ein

2️⃣

Methode wählen

Klicke auf "PQ-Formel" (nur bei Normalform) oder "Mitternachtsformel" (immer möglich)

3️⃣

Lösung ablesen

Der Rechner zeigt dir jeden Schritt und die finale Lösung

🤔 Was sind quadratische Gleichungen?

Eine quadratische Gleichung ist eine mathematische Gleichung, in der die unbekannte Variable x in der zweiten Potenz (x²) vorkommt. Sie ist wie ein Rätsel: Du suchst die Werte von x, die die Gleichung erfüllen.

📝 Allgemeine Form einer quadratischen Gleichung:

ax² + bx + c = 0

Wobei a ≠ 0 (sonst wäre es keine quadratische Gleichung!)

✅ Beispiele für quadratische Gleichungen:

• x² + 5x + 6 = 0
• 2x² - 3x + 1 = 0
• x² - 4 = 0
• 3x² + 2x = 0

❌ Das sind KEINE quadratischen Gleichungen:

• 5x + 3 = 0 (nur x, kein x²)
• x³ + 2x = 0 (x³ ist höher als x²)
• 0x² + 5x + 2 = 0 (Koeffizient von x² ist 0)

📐 Die PQ-Formel im Detail

🎯 Wann kannst du die PQ-Formel verwenden?

Die PQ-Formel funktioniert nur bei Gleichungen in der Normalform:

x² + px + q = 0

Das bedeutet: Der Koeffizient vor x² muss genau 1 sein!

🧮 Die PQ-Formel:

x₁,₂ = -p/2 ± √((p/2)² - q)

📖 Herleitung der PQ-Formel (Quadratische Ergänzung):

x² + px + q = 0 | Ausgangsgleichung

x² + px = -q | q auf rechte Seite

x² + px + (p/2)² = -q + (p/2)² | Quadratische Ergänzung

(x + p/2)² = (p/2)² - q | Binomische Formel

x + p/2 = ±√((p/2)² - q) | Wurzel ziehen

x = -p/2 ± √((p/2)² - q) | PQ-Formel!

⚠️ Häufiger Fehler bei der PQ-Formel:

Viele Schüler versuchen die PQ-Formel bei Gleichungen wie 2x² + 6x + 4 = 0 zu verwenden. Das geht nicht direkt! Du musst zuerst durch 2 teilen: x² + 3x + 2 = 0

🌙 Die Mitternachtsformel (ABC-Formel) im Detail

💪 Der Alleskönner unter den Formeln!

Die Mitternachtsformel heißt so, weil sie dich sogar noch um Mitternacht retten kann! Sie funktioniert bei jeder quadratischen Gleichung:

ax² + bx + c = 0

Hier darf a jeden Wert haben (außer 0)!

🧮 Die Mitternachtsformel:

x₁,₂ = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

🔍 Die Diskriminante verstehen:

Der Ausdruck unter der Wurzel (b² - 4ac) heißt Diskriminante und entscheidet über die Anzahl der Lösungen:

b² - 4ac > 0

Zwei verschiedene Lösungen

b² - 4ac = 0

Eine Lösung (Doppellösung)

b² - 4ac < 0

Keine reelle Lösung

📋 Schritt-für-Schritt Beispiele

📐 Beispiel PQ-Formel

Aufgabe: x² + 5x + 6 = 0

Schritt 1: p = 5, q = 6 identifizieren

Schritt 2: In Formel einsetzen: x = -5/2 ± √((5/2)² - 6)

Schritt 3: Berechnen: x = -2,5 ± √(6,25 - 6) = -2,5 ± 0,5

Schritt 4: x₁ = -2, x₂ = -3

🌙 Beispiel Mitternachtsformel

Aufgabe: 2x² - 5x + 2 = 0

Schritt 1: a = 2, b = -5, c = 2 identifizieren

Schritt 2: Diskriminante: (-5)² - 4·2·2 = 25 - 16 = 9

Schritt 3: x = (5 ± √9) / 4 = (5 ± 3) / 4

Schritt 4: x₁ = 2, x₂ = 0,5

⚠️ Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

❌ Typische Fehler:

• Vorzeichen vergessen: Aus +5x wird p = +5, nicht p = 5
• PQ-Formel bei falscher Form: 2x² + 4x + 2 = 0 erst durch 2 teilen!
• Diskriminante negativ: Dann gibt es keine reelle Lösung
• ±-Zeichen übersehen: Es gibt meist zwei Lösungen!
• Falsche Reihenfolge: Erst +, dann - beim ±-Zeichen

✅ So machst du es richtig:

• Gleichung ordnen: Alle Terme auf eine Seite bringen
• Koeffizienten richtig ablesen: Auch die Vorzeichen beachten
• Probe machen: Lösung in ursprüngliche Gleichung einsetzen
• Diskriminante prüfen: Vor dem Wurzelziehen schauen
• Schritt für Schritt: Nicht zu viele Schritte auf einmal

🤝 Welche Formel wann verwenden?

📐 PQ-Formel verwenden wenn:

✅ Die Gleichung hat die Form x² + px + q = 0
✅ Koeffizient vor x² ist 1 (oder wurde bereits normiert)
✅ Du willst weniger rechnen (etwas einfacher)
✅ In der Schule oft bevorzugt bei einfachen Aufgaben

🌙 Mitternachtsformel verwenden wenn:

✅ Die Gleichung hat die Form ax² + bx + c = 0
✅ Koeffizient vor x² ist ungleich 1
✅ Du willst sicher gehen (funktioniert immer)
✅ In Klausuren oft sicherer, da universell einsetzbar
✅ Bei Brüchen oder komplizierteren Koeffizienten

💡 Profi-Tipp:

Beide Formeln führen zum gleichen Ergebnis! Die Mitternachtsformel ist universeller, die PQ-Formel oft schneller bei einfachen Aufgaben. Wähle die Formel, mit der du dich sicherer fühlst.

🌍 Anwendungen im echten Leben

🚀 Physik

Wurfbewegungen, Fallzeiten, Schwingungen - überall wo sich etwas beschleunigt bewegt, tauchen quadratische Gleichungen auf.

💰 Wirtschaft

Gewinnmaximierung, Kostenoptimierung, Zinszinsrechnung - quadratische Funktionen helfen bei wirtschaftlichen Entscheidungen.

🏗️ Technik

Brückenbau, Antennenkonstruktion, Satellitenbahnen - Ingenieure nutzen quadratische Gleichungen täglich.

💪 Übungsaufgaben zum Selbermachen

🎯 Probiere diese Aufgaben mit dem Rechner:

📐 PQ-Formel Übungen:

1. x² + 7x + 12 = 0
2. x² - 6x + 9 = 0
3. x² + 2x - 8 = 0
4. x² - 4x + 5 = 0

🌙 Mitternachtsformel Übungen:

1. 2x² + 5x + 2 = 0
2. 3x² - 7x + 2 = 0
3. -x² + 4x - 3 = 0
4. 4x² - 4x + 1 = 0

💡 Lösungstipp: Gib die Aufgaben oben in den Rechner ein und verfolge jeden Schritt. So lernst du am besten, wie die Formeln funktionieren!

❓ Häufig gestellte Fragen (FAQ)

🤔 Warum gibt es manchmal zwei Lösungen?

Eine Parabel (Graph einer quadratischen Funktion) kann die x-Achse an zwei Stellen schneiden. Jeder Schnittpunkt ist eine Lösung der Gleichung.

🤔 Was bedeutet "keine reelle Lösung"?

Wenn die Diskriminante negativ ist, müsste man die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen. Das geht im Bereich der reellen Zahlen nicht. Die Parabel berührt die x-Achse nicht.

🤔 Welche Formel ist besser - PQ oder ABC?

Beide sind gleichwertig! Die PQ-Formel ist oft etwas schneller bei einfachen Aufgaben, die ABC-Formel (Mitternachtsformel) funktioniert aber immer. Wähle die Formel, mit der du dich sicherer fühlst.

🤔 Wie kann ich meine Lösung kontrollieren?

Setze deine gefundenen x-Werte in die ursprüngliche Gleichung ein. Wenn beide Seiten der Gleichung den gleichen Wert ergeben, ist deine Lösung richtig!

📚 Noch Fragen? Weitere Hilfe findest du hier:

📖 Mathematik-Lehrbücher

Algebra und Analysis Grundlagen

👨‍🏫 Online-Nachhilfe

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