Schnittpunkte-Rechner

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Schnittpunkte berechnen

Geben Sie hier die beiden Funktionen ein, deren Schnittpunkte Sie berechnen möchten.

f(x) =
g(x) =
Schreibweise: Verwenden Sie ^ oder ² für Potenzen (x^2 oder x²), * für Multiplikation (2*x oder 2x)
Gleichungen: Sie können auch Gleichungen eingeben wie "x² - 2x - 3 = 0" (wird automatisch zu "x² - 2x - 3")

Vollständige Anleitung: Schnittpunkte von Funktionen

🎯 Was berechnet dieser Rechner?

  • • Schnittpunkte zweier Funktionen f(x) und g(x)
  • • Nullstellen beider Funktionen (Schnittpunkte mit x-Achse)
  • • Y-Achsenschnittpunkte (f(0) und g(0))
  • • Grafische Darstellung mit allen wichtigen Punkten
  • • Schritt-für-Schritt-Lösung mit Erklärungen

⚡ Unterstützte Funktionen

x^2, x^3 - Potenzen
2*x, 3*x^2 - Multiplikation
sin(x), cos(x) - Trigonometrie
log(x), exp(x) - Logarithmus
sqrt(x) - Wurzel
abs(x) - Betrag

🔍 Was sind Schnittpunkte? (Einfach erklärt)

Stellen Sie sich vor, zwei Freunde gehen spazieren und folgen verschiedenen Wegen (den Graphen der Funktionen). Ein Schnittpunkt ist der Ort, an dem sich ihre Wege kreuzen – sie sind zur gleichen Zeit am gleichen Ort!

📍 Beispiel aus dem Alltag:

Zwei Autos fahren auf verschiedenen Straßen. Auto A fährt nach der Formel "Geschwindigkeit = 50 + 10·Zeit", Auto B nach "Geschwindigkeit = 30 + 15·Zeit". Der Schnittpunkt zeigt, wann beide Autos gleich schnell sind!

📐 Die mathematische Methode (Schritt für Schritt)

Schritt 1: Gleichsetzen der Funktionen

Um Schnittpunkte zu finden, setzen wir beide Funktionen gleich:

f(x) = g(x)
Beispiel: f(x) = x² + 2x und g(x) = 4x + 3
Gleichsetzen: x² + 2x = 4x + 3

Schritt 2: Umformen zur Nullform

Wir bringen alle Terme auf eine Seite:

f(x) - g(x) = 0
Fortsetzung: x² + 2x - 4x - 3 = 0
Vereinfacht: x² - 2x - 3 = 0

Schritt 3: Nullstellen finden

Je nach Funktionstyp verwenden wir verschiedene Methoden:

Quadratische Gleichungen:
Mitternachtsformel: x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a
Lineare Gleichungen:
Direktes Auflösen nach x
Lösung: x² - 2x - 3 = 0
Mit der Mitternachtsformel: x₁ = 3, x₂ = -1

Schritt 4: Y-Koordinaten berechnen

Setzen Sie die x-Werte in eine der ursprünglichen Funktionen ein:

Berechnung:
f(3) = 3² + 2·3 = 9 + 6 = 15 → S₁(3|15)
f(-1) = (-1)² + 2·(-1) = 1 - 2 = -1 → S₂(-1|-1)

💡 Tipps für die Benutzung des Rechners

✅ Richtige Eingabe:

  • • Verwenden Sie ^ für Potenzen: x^2
  • • Schreiben Sie * bei Multiplikation: 2*x
  • • Klammern sind wichtig: (x+1)^2
  • • Funktionen in Kleinbuchstaben: sin(x)

❌ Häufige Fehler:

  • • 2x → richtig: 2*x
  • • x² → richtig: x^2
  • • Sin(x) → richtig: sin(x)
  • • ln(x) → richtig: log(x)

📊 Praktische Beispiele

Beispiel 1: Parabel und Gerade

Gegeben: f(x) = x² - 4x + 3 und g(x) = -x + 1

Lösung:

  1. Gleichsetzen: x² - 4x + 3 = -x + 1
  2. Umformen: x² - 4x + x + 3 - 1 = 0
  3. Vereinfachen: x² - 3x + 2 = 0
  4. Faktorisieren: (x-1)(x-2) = 0
  5. Lösungen: x₁ = 1, x₂ = 2
  6. Y-Werte: S₁(1|0), S₂(2|-1)

Beispiel 2: Zwei Parabeln

Gegeben: f(x) = x² + 2x und g(x) = -x² + 6x

Besonderheit: Diese Funktionen haben zwei Schnittpunkte

Probieren Sie es selbst im Rechner aus!

⚠️ Häufige Probleme und Lösungen

Problem: "Keine Schnittpunkte gefunden"

Ursachen:

  • • Die Funktionen schneiden sich tatsächlich nicht
  • • Die Schnittpunkte liegen außerhalb des berechneten Bereichs
  • • Numerische Ungenauigkeiten

Lösung: Prüfen Sie die Funktionen grafisch oder erweitern Sie den Suchbereich.

Problem: "Syntaxfehler"

Häufige Ursachen:

  • • Fehlende Multiplikationszeichen (*)
  • • Falsche Klammersetzung
  • • Unbekannte Funktionsnamen

🎓 Weiterführende Konzepte

Nullstellen

Schnittpunkte mit der x-Achse (y = 0)

Setzen Sie f(x) = 0 und lösen Sie nach x auf.

Y-Achsenschnitt

Schnittpunkt mit der y-Achse (x = 0)

Berechnen Sie f(0) - das ist der y-Wert des Schnittpunkts.